Задачи с треугольниками одни из самых распространённых, они встречаются как в первой части, так и во второй. В этой статье ты найдёшь все необходимые формулы и свойства для решения таких задач.
Типы треугольников по величине углов:
1) Остроугольные — все углы острые;
2) Тупоугольные — один из углов тупой;
3) Прямоугольные — один из углов прямой.
Типы треугольников по сторонам:
1) Разносторонний;
2) Равнобедренный (две стороны равны);
3) Равносторонний или правильный (все три стороны равны).
Сумма углов треугольника равна 180: 
/0109%20%D1%92%E2%80%A0%D0%B2%E2%80%A2%D1%92%E2%80%A0%D0%B2%C2%AE%E2%84%A2%E2%80%A0%20%D0%B0%C2%AE%D0%B1%D0%B3%E2%89%A0%E2%84%A2%C2%AE/%D0%9A%E2%80%A0%D0%B0%D0%B2%C2%AE%E2%89%A0%E2%84%A2%E2%80%A0%201.png)
Напротив бо́льшего угла лежит бо́льшая сторона, напротив меньшего угла — меньшая сторона (и наоборот).
Следовательно, если , то 
.
Сумма длин двух любых сторон больше длины третьей:
Медиана
| Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны. |
/0109%20%D1%92%E2%80%A0%D0%B2%E2%80%A2%D1%92%E2%80%A0%D0%B2%C2%AE%E2%84%A2%E2%80%A0%20%D0%B0%C2%AE%D0%B1%D0%B3%E2%89%A0%E2%84%A2%C2%AE/%D0%9A%E2%80%A0%D0%B0%D0%B2%C2%AE%E2%89%A0%E2%84%A2%E2%80%A0%202.png)
Свойства:
1) Все медианы треугольника пересекаются в одной точке;
2) В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1);
3) Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части, то есть на части с равными площадями;
4) Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Биссектриса
|
Биссектриса — луч, начинающийся в вершине угла и делящий угол на два равных угла. |
/0109%20%D1%92%E2%80%A0%D0%B2%E2%80%A2%D1%92%E2%80%A0%D0%B2%C2%AE%E2%84%A2%E2%80%A0%20%D0%B0%C2%AE%D0%B1%D0%B3%E2%89%A0%E2%84%A2%C2%AE/%D0%9A%E2%80%A0%D0%B0%D0%B2%C2%AE%E2%89%A0%E2%84%A2%E2%80%A0%203.png)
Свойства:
1) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника ― это центр вписанной окружности;
2) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Высота
| Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. |
/0109%20%D1%92%E2%80%A0%D0%B2%E2%80%A2%D1%92%E2%80%A0%D0%B2%C2%AE%E2%84%A2%E2%80%A0%20%D0%B0%C2%AE%D0%B1%D0%B3%E2%89%A0%E2%84%A2%C2%AE/%D0%9A%E2%80%A0%D0%B0%D0%B2%C2%AE%E2%89%A0%E2%84%A2%E2%80%A0%204.png)
Свойство:
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Средняя линия
| Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. |
Свойства:
1) Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.
2) При пересечении всех трех средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных исходному, с коэффициентом 1/2.
Вписанная окружность
| Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон. |
Свойства:
1) Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника;
2) В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Радиус вписанной окружности:
Описанная окружность
| Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугольника. |
Свойства:
1) Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам;
2) Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
Радиус описанной окружности:
Теорема синусов:
Теорема косинусов:
/%D0%A1%D0%93%CC%81%D2%90%D0%93%CC%81%E2%84%A2%D0%B3%D0%B3%CC%81%E2%89%A0%D0%93%CC%81%D0%B1%D0%B2%D0%BC%20%C2%AE%20%D0%B1%C2%AE%D0%B1%D0%B2%E2%80%A2%D1%92%E2%80%A0%20%D2%90%20%E2%89%A0%E2%80%A2%D0%B0%E2%80%A0%D2%90%E2%80%A2%E2%89%A0%D0%B1%D0%B2%D2%90%E2%80%A0%D0%B5/5.png)
Периметр и площадь треугольника
Во многих формулах с треугольником используется полупериметр. Для использования этой формулы нам необходимо знать и сам периметр треугольника: 
Полупериметр — периметр пополам:
Площадь же треугольника можно найти пятью основными способами:
1) Зная сторону 
и высоту 
, проведенную к этой стороне:
2) Зная две стороны и угол между ними:
3) Зная три стороны (формула Герона):
4) Через радиус вписанной окружности и полупериметр треугольника:
5) Через радиус описанной окружности и три стороны:
Все формулы, представленные в статье, помогут вам в сдаче экзамена. Не забудьте выучить их и желаю успехов!
Просмотры
707
Тест по теме “Треугольники общего вида”
Отправить тест на проверку?
Ты решил еще не все задания
