Теорема Виета. Формула и доказательство. Обратная теорема Виета

Мы используем файлы cookie

Только с ними все в интернете работает так, как нужно 🍪

Если у тебя есть AdBlock - то отключи его для нашей платформы. Рекламы у нас нет, а удалить он может лишнего 🙈

База знаний

Математика

Теорема Виета. Формула и доказательство. Обратная теорема Виета

Когда мы сталкиваемся с квадратным уравнением вида $a x в квадрате плюс b x плюс c равно 0$ может показаться, что это какая-то загадка. Но не волнуйтесь, теорема Виета — это инструмент, который помогает нам раскрывать тайны корней этого уравнения. Эта теорема, названная в честь французского математика Франсуа Виета, предоставляет нам удивительные связи между коэффициентами уравнения и его корнями.

Формула Виета

Формула Виета для квадратного уравнения $a x в квадрате плюс b x плюс c равно 0$ гласит:

Сумма корней: $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен отрицательному значению b над a$
Произведение корней: $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен c над a$

Эти формулы дают нам ключевые отношения между коэффициентами уравнения и его корнями.

Доказательство теоремы Виета

Давайте рассмотрим, как это работает:

Предположим, у нас есть уравнение $a x в квадрате плюс b x плюс c равно 0$ и у него есть корни $x подстрочный индекс 1$ и $x подстрочный индекс 2$ .

Мы можем записать уравнение как $a открытые круглые скобки x минус x подстрочный индекс 1 закрытые круглые скобки открытые круглые скобки x минус x подстрочный индекс 2 закрытые круглые скобки равны 0$ (произведение корней).

Раскроем скобки и сгруппируем по степеням $x двоеточие a x в квадрате минус a открытые скобки x подстрочный индекс 1 плюс x подстрочный индекс 2 закрытые скобки x плюс x подстрочный индекс 1 x подстрочный индекс 2 равны 0.$

Теперь сравним это с исходным уравнением $a x в квадрате плюс b x плюс c равно 0$ и увидим, что сумма корней и произведение корней соответствуют коэффициентам в уравнении Виета.

Обратная теорема Виета и её доказательство

Обратная теорема Виета гласит:

Если у нас есть уравнение $a x в квадрате плюс b x плюс c равно 0$ с корнями $x подстрочный индекс 1$ и $x подстрочный индекс 2$ и мы знаем сумму и произведение корней, то мы можем найти коэффициенты $запятая b$ и $c$ .

Доказательство обратной теоремы Виета

Предположим, у нас есть сумма корней $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен S$ и произведение корней $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен P.$

Используем формулы Виета: $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен отрицательному значению b над a$ и $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен c над a.$

Составим систему уравнений и решим ее относительно $запятая b$ и $c$ .

Пример 1

У нас есть уравнение:

$3 х в квадрате минус 7 х плюс 2 равно 0$

Согласно формулам Виета:

- Сумма корней: $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен 7 над 3$

- Произведение корней: $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен 2 над 3$

Пример 2

Уравнение:

$х в квадрате плюс 6 х плюс 9 равно 0$

Снова формулы Виета работают:

- Сумма корней: $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен 9$

- Произведение корней: $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен 9$

Просмотры 316

Тест по теме “Теорема Виета. Формула и доказательство. Обратная теорема Виета ”

Разбор:

Чему должна быть равна сумма корней по теореме Виета?

1) $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен a над b$
2) $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен отрицательному значению a над b$
3) $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен отрицательному значению b над a$
4) $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен b над a$

Чему должно быть равно произведение корней по теореме Виета?

1) $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен c над a$
2) $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен отрицательному c над a$
3) $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2 , равен a над c$
4) $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен отрицательному c над b$

Какое значение наибольшего корня уравнения $х в квадрате плюс 4 х минус 5 равно 0$ ?

1) 5
2) -5
3) 1
4) нет корней

Какое значение наибольшего корня уравнения $8 х в квадрате минус 30 х плюс 7 равно 0$ ?

1) 4
2) 3,5
3) 0,25
4) нет корней

Какое значение наибольшего корня уравнения $3 х в квадрате плюс 4 х плюс 5 равно 0$ ?

1) 4
2) 1
3) 0
4) нет корней

Набранные баллы: 5

Смотреть разбор

Нет аккаунта?

Введите больше 6 символов

Проблемы со входом?

Введи последние 4 цифры номера, с которого
поступит звонок. Трубку брать не нужно.

Проблемы со входом?

Добро пожаловать!

Зарегистрируйся и получи Демо мастер-группы на 10 дней по любимым предметам бесплатно.

Добро пожаловать!

Как тебя зовут?

Привяжем номер телефона

Введите не меньше 2 символов

Привяжем номер телефона

Теперь нужно подтвердить номер - введи последние 4 цифры номера, с которого поступит звонок. Трубку брать не нужно

Введите не меньше 2 символов

Придумаем пароль

Почти закончили! Теперь нужно создать надежный пароль

Немного о тебе

В какой класс ты переходишь?

Укажи, какие предметы будешь или хочешь сдавать

Введите не меньше 2 символов

На почту 12345@mail.ru отправлена ссылка для сброса пароля.

	МГ	Pro	ProMax
Практика на платформе
Отслеживание прогресса обучения
Двухуровневое домашнее задание после каждого вебинара
Все материалы составлены экспертом ЕГЭ
Персональный менеджер
Личный куратор
Разбор ошибок личным куратором
Еженедельные созвоны с куратором для закрытия индивидуальных пробелов
Составление индивидуального расписания