Теорема Виета и обратная теорема Виета

Формула Виета

Формула Виета для квадратного уравнения $a x в квадрате плюс b x плюс c равно 0$ гласит:

Сумма корней: $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен отрицательному значению b над a$
Произведение корней: $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен c над a$

Эти формулы дают нам ключевые отношения между коэффициентами уравнения и его корнями.

Ученица решает уравнение в тетради

Доказательство теоремы Виета

Давайте рассмотрим, как это работает:

Предположим, у нас есть уравнение $a x в квадрате плюс b x плюс c равно 0$ и у него есть корни $x подстрочный индекс 1$ и $x подстрочный индекс 2$ .

Мы можем записать уравнение как $a открытые круглые скобки x минус нижний индекс x 1 закрытые круглые скобки открытые круглые скобки x минус нижний индекс x 2 закрытые круглые скобки равны 0$ (произведение корней).

Раскроем скобки и сгруппируем по степеням $x двоеточие a x в квадрате минус a открытые круглые скобки x подстрочный индекс 1 плюс x подстрочный индекс 2 закрывающие круглые скобки x плюс x подстрочный индекс 1 x подстрочный индекс 2 равен 0.$

Теперь сравним это с исходным уравнением $a x в квадрате плюс b x плюс c равно 0$ и увидим, что сумма корней и произведение корней соответствуют коэффициентам в уравнении Виета.

Обратная теорема Виета и её доказательство

Обратная теорема Виета гласит:

Если у нас есть уравнение $a x в квадрате плюс b x плюс c равно 0$ с корнями $x подстрочный индекс 1$ и $x подстрочный индекс 2$ и мы знаем сумму и произведение корней, то мы можем найти коэффициенты $запятая b$ и $c$ .

Доказательство обратной теоремы Виета

Предположим, у нас есть сумма корней $x подстрочный индекс 1 плюс x подстрочный индекс 2 равны S$ и произведение корней $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен P.$

Используем формулы Виета: $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен отрицательному значению b над a$ и $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен c над a.$

Составим систему уравнений и решим ее относительно $запятая b$ и $c$ .

Пример 1

У нас есть уравнение:

$3 х в квадрате минус 7 х плюс 2 равно 0$

Согласно формулам Виета:

Сумма корней: $x подстрочный индекс 1 плюс x подстрочный индекс 2 равняется 7 к 3$
Произведение корней: $x подстрочный индекс 1 умноженный на x подстрочный индекс 2 равен 2 на 3$

Пример 2

Уравнение:

$х в квадрате плюс 6 х плюс 9 равно 0$

Снова формулы Виета работают:

Сумма корней: $х индекс 1 умножить на х индекс 2 равно 9$
Произведение корней: $х индекс 1 умножить на х индекс 2 равно 9$

Просмотры 954

Тест по теме “Теорема Виета. Формула и доказательство. Обратная теорема Виета ”

Разбор:

Чему должна быть равна сумма корней по теореме Виета?

1) $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен a над b$
2) $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен отрицательному значению a над b$
3) $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен отрицательному значению b над a$
4) $индекс x 1 плюс индекс x 2 равен b над a$

Чему должно быть равно произведение корней по теореме Виета?

1) $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен c над a$
2) $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен отрицательному c над a$
3) $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2 , равен a над c$
4) $x подстрочный индекс 1, умноженный на x подстрочный индекс 2, равен отрицательному c над b$

Какое значение наибольшего корня уравнения $х в квадрате плюс 4 х минус 5 равно 0$ ?

1) 5
2) -5
3) 1
4) нет корней

Какое значение наибольшего корня уравнения $8 х в квадрате минус 30 х плюс 7 равно 0$ ?

1) 4
2) 3,5
3) 0,25
4) нет корней

Какое значение наибольшего корня уравнения $3 х в квадрате плюс 4 х плюс 5 равно 0$ ?

1) 4
2) 1
3) 0
4) нет корней

Набранные баллы: 5

Смотреть разбор

	МГ	Pro	ProMax
Практика на платформе
Отслеживание прогресса обучения
Двухуровневое домашнее задание после каждого вебинара
Все материалы составлены экспертом ЕГЭ
Персональный менеджер
Личный куратор
Разбор ошибок личным куратором
Еженедельные созвоны с куратором для закрытия индивидуальных пробелов
Составление индивидуального расписания

Теорема Виета. Формула и доказательство. Обратная теорема Виета

Теги

Популярное

Формула Виета

Доказательство теоремы Виета

Обратная теорема Виета и её доказательство

Пример 1

Пример 2

Теорема Виета. Формула и доказательство. Обратная теорема Виета

Теги

Популярное

Формула Виета

Доказательство теоремы Виета

Обратная теорема Виета и её доказательство

Пример 1

Пример 2

Здравствуйте!