Линейные уравнения и методы их решения

Выглядят они как равенство двух выражений, в которых есть одна переменная (латинская буква, значение которой надо найти). Решение линейных уравнений является важным навыком, который применяется в различных областях, таких как физика, экономика, инженерия и другие. 

В этой статье мы разберем основную теоретическую информацию, которая поможет тебе при решении уравнений на ОГЭ по математике. Старайся запомнить все, это действительно важная и полезная информация! Погнали! 

Оно состоит из двух частей, которые равны друг другу. 

Решить уравнение — значит найти ВСЕ его корни или убедиться, что их нет. 

Рассмотрим свойства уравнений, без которых решить задания на ОГЭ по математике, будет сложно. Запоминай! 

1) При переносе слагаемых из одной части в другую знак слагаемого меняется на противоположный.

Пример: 

2) Можем прибавить или вычесть из обеих частей уравнения одно и тоже число.

Пример: 

, прибавим 5 к обеим частям

3) Можем умножить или разделить обе части уравнения на любое число, не равное нулю.

Пример: 

, разделим обе части уравнения на 5

4) Свойство пропорции: если перед нами уравнение, в котором правая и левая части равны, то перемножаем их крест-накрест (числитель одной дроби со знаменателем другой дроби, и наоборот) и приравниваем.

Пример: 

Основной метод решения: 

Например, перед нами задача «Решите уравнение 5(5+3х)-10х=8». Чтобы решить любое уравнение, нужно придерживаться следующего плана действий:

1) Упростить выражение (раскрыть все скобки):

2) Все известные слагаемые (обычные числа) перенести в одну сторону, неизвестные слагаемые (переменные) — в другую:

3) Привести подобные, то есть выполнить арифметические действия с подобными (похожими) числами. В данном примере числа 8 и 25 подобны, поэтому можем выполнить вычитание. Числа 15х и 10х тоже подобны, потому что у них есть общий множитель х. Значит тоже можем выполнить вычитание:

4) Получили уравнение вида , поэтому избавляемся от коэффициента а. Для этого все уравнение нужно поделить на число, стоящее перед иксом:

5) При делении уравнения на какое-либо число, необходимо поделить и правую, и левую часть уравнения! После этого получаем ответ:

Среди линейных уравнений бывают те, которые имеют обыкновенные дроби. И, если знать некоторые лайфхаки и понимать их логику, можно легко и быстро решать эти уравнения:

, где  - если дробь равна нулю, то числитель равен нулю

, где  - если дробь равна единице, то числитель равен знаменателю

- если знаменатели двух дробей равны, то равны и их числители

, где  - свойство пропорции

Рассмотрим 1 лайфхак. В каком случае дробь может быть равна нулю? Дробь — это деление одного числа на другое.

То есть:

Если при делении получается 0, то одно из чисел должно быть нулем. Представим 2 случая: и . Первый случай дает в ответе ноль и имеет право на существование. Однако во втором случае мы делим на ноль! Вспомним математическое правило, которое знает каждый калькулятор. Делить на ноль нельзя! Поэтому в знаменателе любой дроби никогда не может быть нуля. Тогда в данном лайфхаке только число a может равняться нулю.

Рассмотрим 2 лайфхак. В каком случае деление чисел друг на друга дает единицу? Если эти числа равны. При делении числа на само себя в ответе получается единица, поэтому .

Рассмотрим 3 лайфхак. Если дроби равны, и их знаменатели равны, то и числители равны. Иной случай просто невозможно подобрать. 

4 лайфхак обсудили в свойствах уравнений.

Помни, что умение работать с линейными уравнениями является необходимым навыком для успешного решения математических и практических задач. А главное — применяется во всех типах экзаменов по математике и тем более на уроках в школе. Желаем удачи и успехов при подготовке к ОГЭ по математике. Пусть удача всегда будет с вами!