Как решать задачу на свойства чисел?

Многие школьники не берутся за последние задачи в экзамене по базовой математике, потому что считают их слишком сложными. К счастью, это мнение лишь тех, кто не до конца разобрался и не распознал схему решения №19, которая строится всего лишь на трех базовых вещах:

1. Знании о простых и составных числах

2. Умении использовать признаки делимости

3. Понимании основной теоремы арифметики

Так как 19 задание предполагает изучение свойств чисел, то с этими числами нужно познакомиться поближе и понять, какие они бывают.

Так как 19 задание предполагает изучение свойств чисел, то с этими числами нужно познакомиться поближе и понять, какие они бывают. Разберем их подробнее.

В первую очередь нам предстоит познакомиться с натуральными числами — это те самые числа, которые мы можем использовать при счете предметов. Например, два стула, три котёнка, четыре карандаша. Половинчатые значения здесь не используются, то есть мы не будем включать в этот список  стула или  дивана, ведь такие числа мы не употребляем при подсчете предметов.

Целых чисел всегда будет больше, чем натуральных, потому что теперь к положительным присоединяются еще и отрицательные числа.

Например:  и так далее. 

Среди натуральных чисел можно выделить простые (натуральные числа, имеющие только два натуральных делителя — единицу и само это число) и составные (это натуральные числа, имеющие более двух натуральных делителей).

К простым отнесем, например, число , так как оно делится только на  и на , а вот число  является примером составного числа и имеет более двух делителей:

В заданиях из экзамена нередко будет встречаться делимость на составные числа, поэтому нужно хорошо разобраться, делится ли одно число на другое или нет. Чтобы это понять, рассмотрим несколько правил:

Наглядным примером является пара чисел  и . Не существует числа, отличного от , на которое делится и , и  одновременно. 

1. Раскладываем число на простые множители

2. Перемножаем одинаковые

За способ разложения можно не переживать, так как любое число согласно основной теореме арифметики можно разложить на простые множители единственным образом.

Так, число 

Или попробуем разложить иначе:

Результаты разложения получились одинаковыми, хотя способы были разные. 

Последний, самый важный пункт для подготовки к решению номера 19 — признаки делимости. Достаточно знать конечное число признаков, чтобы успешно справляться с этим номером.

•  На 2: на  делятся только те числa, которые оканчиваются на чётную цифру.

Наглядным примером служит число , так как оно оканчивается на чётную шестёрку, то разделится пополам без остатка.

• На 5: на  делятся все числa, которые оканчиваются на  или .

Это могут быть и короткие, и очень длинные числа, самое важное – окончание. На  разделится и число , и , и .

• На 10: на делятся все числa, которые оканчиваются нулём. То есть абсолютно любое круглое число, как или .

• На 3: если сумма цифр в числе без остатка делится на , то и само число делится на . Рассмотрим число  (сумма цифр ,  делится на , поэтому делится на ) и т.д. 

• На 9:  если сумма цифр в числе без остаткa делится нa , то и само число делится на . Например,  число (,  делится на , поэтому  делится на ) и т.д.

Стоит отметить, что все числа, которые делятся на , делятся и на  , но не все числа , кратные трём,  делятся на . Например, число без остатка делится на , но не на . А кратное девятке число обязательно разделится без остатка на тройку.

• На 4: на  делятся те числа, у которых две последние цифры или они образуют число, кратное . В качестве примера рассмотрим число (оканчивается на , а делится на ) и т.д. 

• На 8: на  делятся те числа, у которых три последние цифры  или они образуют число, кратное . Например, ( образует число , которое делится на , поэтому число  делится на  без остатка) и т.д. 

Признак делимости на 25: на делятся те числа, которые оканчиваются на и .

Например, (оканчивается на , поэтому делится на ) и т.д. 

Признак делимости на 11:  на  делятся те числа, у которых сумма цифр, стоящих на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах или эти суммы отличаются друг от друга на число, кратное . Например, ( и , поэтому число делится на ) и т.д. 

Для примера рассмотрим один из вариантов задания 19 из ЕГЭ по базовой математике.

Найдите шестизначное натуральное число, которое состоит только из  и и делится без остатка на . В ответ запишите одно такое число.

Известно, что:

Число  - составное. Если число делится на составное число , то оно должно делиться на все его взаимно простые множители. Чтобы число делилось на , оно должно делиться на  и на  одновременно.

Признак делимости на 3: если сумма цифр в числе делится на , то и само число делится на .

Признак делимости на 8: если три последние цифры в числе образуют число, делящееся на , то и само число делится на . Отметим также, что на  делятся только четные числа, значит - искомое число четное. 

Поскольку мы можем использовать только  или , то чтобы число было четным, его последняя цифра должна быть .

Рассмотрим комбинации последних трех цифр в числе (def), состоящие из  и  и проверим делимость на . 

 - не кратно 

 - единственное верное, делится на

Получаем, что три последние цифры числа это (d=, e=, f=)

Рассмотрим комбинацию для трех первых цифр числа с условием, что сумма цифр должна делиться на  (поскольку последние три цифры в сумме дают , то они не играют роли и можно рассмотреть только первые три):

- не делится на 

 - делится на , единственный верный вариант

Таким образом, первые три цифры числа - . Соединим первые и последние цифры, получим  - верный ответ.

Описанные нами теоретические аспекты являются основой номера 19. Если досконально разобрать каждый из них, то задачи на свойства чисел покажутся одними из самых интересных и легких.