Мы используем файлы cookie

Только с ними все в интернете работает так, как нужно 🍪

Политика использования cookies

Если у тебя есть AdBlock - то отключи его для нашей платформы. Рекламы у нас нет, а удалить он может лишнего 🙈

Профильная математика

Задача по теме: "Окружности и треугольники"

Профильная математика

Задание 17 Окружности и треугольники

Автор

Ященко И.В. Математика. Профильный уровень: единый государственный экзамен. — Москва: Издательство "Национальное образование", 2024. — 224 с. Материалы публикуются в учебных целях

Просмотры

Точки $A1, B1, C1$ - середины сторон соответственно $BC, AC и AB$ остроугольного

треугольника $ABC$ .

a) Докажите, что окружности, описанные около треугольников $A1CB1, A1BC1 и B1AC1$ ,

пересекаются в одной точке.

б) Известно, что $AB=AC=13 и BC=10.$ Найдите радиус окружности, вписанной

в треугольник, вершины которого - центры окружностей, описанных около

треугольников $A1CB1, A1BC1 и B1AC1.$

Решение:

а)

Пусть $запятая бета запятая гамма$ - углы при вершинах $A через запятую B через пробел и через пробел C$ треугольника $пространство A B C пространство$ соответственно, $M$ - отличная от $пробел В нижнем индексе 1 пробел$ точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $A подстрочный индекс 1 C подстрочный индекс B 1 пробел и пробел A подстрочный индекс 1 B подстрочный индекс C 1$ .

Четырехугольник $A подстрочный индекс 1 B подстрочный индекс C 1 M$ вписан в окружность, поэтому:

угол $пробел A с индексом 1 M C пробел с индексом 1 равен пробелу 180 пробел минус пробел у г о л пробел A с индексом 1 B C с индексом 1 пробел равен пробелу 180 пробел минус бета$

Аналогично угол $A нижний индекс 1 М B нижний индекс 1 пробел равен пробелу 180 пробел минус гамма$

Значит:

$у г о л пробел В нижнем индексе 1 М В нижнем индексе 1 пробел равен пробелу 360 пробел минус пробел в левой скобке у г о л пробел в нижнем индексе 1 М В нижнем индексе 1 пробел плюс пробел у г о л пробел в нижнем индексе 1 М В нижнем индексе 1 пробел в правой скобке равен пробелу 360 пробел минус пробел в левой скобке 180 пробел минус бета пробел плюс пробел 180 минус гамма пробел в правой скобке равен пробелу пробел 180 минус а$

Поэтому четырехугольник $B индекс 1 A C индекс 1 M$ - вписанный. Следовательно, точка $M$ лежит на описанной окружности треугольника $B подстрочный индекс 1 A C подстрочный индекс 1$ .

б) Отрезок $пространство в пространстве$ - диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $B подстрочный индекс 1 A C подстрочный индекс 1$ , поэтому отрезок $пробел M B подстрочный индекс 1 пробел$ перпендикулярен отрезку $Кондиционер$ . Значит, $пространство C M пространство$ - диаметр окружности, описанной около треугольника $A подстрочный индекс 1 C подстрочный индекс B 1$ . Аналогично $пространство B M пространство$ - диаметр окружности, описанной около треугольника $A подстрочный индекс 1 B подстрочный индекс C 1$ . Центры этих трех окружностей - середины отрезков $A M через запятую B M через пробел и через пробел C M$ . По теореме о средней линии треугольника стороны треугольника с вершинами в центрах трех указанных окружностей соответственно параллельны сторонам треугольника $A B C$ . Значит, треугольник с вершинами в центрах этих окружностей подобен треугольнику $пространство A B C пространство$ с коэффициентом $0 запятая 5$ .

Пусть $пространство r пространство$ - радиус окружности, вписанной в треугольник $A B C$ . Тогда:

$r пробел равен числителю дроби 2, S нижний индекс A B C, конечный нижний индекс над знаменателем A B плюс A C плюс B C, конечная дробь равна числителю дроби B C, умноженному на A A, нижний индекс 1 над знаменателем 13 плюс 13 плюс 10, конечная дробь равна 10 над 3.$

Следовательно, искомый радиус равен $r больше 2 равно 5 больше 3. пробел$

Ответ: $пространство 5 на 3$

Нет аккаунта?

Привет, ! Как будем входить?

Введите больше 6 символов

Проблемы со входом?

Введи последние 4 цифры номера, с которого
поступит звонок. Трубку брать не нужно.

Повторный звонок через

сек.

Добро пожаловать!

Зарегистрируйся и получи Демо мастер-группы на 10 дней по любимым предметам бесплатно.

Добро пожаловать!

Как тебя зовут?

Привяжем номер телефона

Нажимая на копку, Вы выражаете своё согласие с офертой

Введите не меньше 2 символов

Привяжем номер телефона

Повторный звонок через

30 сек.

Теперь нужно подтвердить номер - введи последние 4 цифры номера, с которого поступит звонок. Трубку брать не нужно

Введите не меньше 2 символов

Придумаем пароль

Почти закончили! Теперь нужно создать надежный пароль

Введите не меньше 2 символов

Немного о тебе

В какой класс ты переходишь?

Введите не меньше 2 символов

На почту 12345@mail.ru отправлена ссылка для сброса пароля.

	МГ	Pro	ProMax
Практика на платформе
Отслеживание прогресса обучения
Двухуровневое домашнее задание после каждого вебинара
Все материалы составлены экспертом ЕГЭ
Персональный менеджер
Личный куратор
Разбор ошибок личным куратором
Еженедельные созвоны с куратором для закрытия индивидуальных пробелов
Составление индивидуального расписания

Задача по теме: "Окружности и треугольники"

Сообщение об ошибке

Здравствуйте!

Оплата прошла успешно!

Оплата не прошла