Задача по теме: "Окружности и треугольники"

Решение:

а) 

Перед нами стоит задача доказать одно из свойств вписанной трапеции. Сделать это не сложно:

Если мы продолжим стороны до пересечения точки , то получим два треугольника:

1) Треугольник , для которого окружность является вписанной - ее центр лежит на пересечении биссектрис углов. То есть - биссектрисы углов.

2) Треугольник , для которого окружность является вневписанной - ее центр лежит на биссектрисах внешних углов треугольника, то есть биссектрисы углов Углы А и В в сумме равны градусов (как и углы ).

Биссектрисы разделили эти углы пополам. Значит, сумма «отрезков» углов, то есть градусов. Тогда и углы равны градусов, и мы получаем, что треугольник (также как и ) прямоугольный, что и требовалось доказать.

б) Так как трапеция равнобедренная, точки касания образуют равнобедренные треугольники причем,  

- перпендикуляр к - перпендикуляр к .

Значит, - высота трапеции, FH параллельно основаниям трапеции.

Введем обозначения частей сторон:

Запишем формулу площади трапеции:

А площадь четырехугольника запишем через перпендикулярные диагонали:

Тогда отношение площадей будет выглядеть так:

успешно сократилось. Теперь нужно подобраться к . Опустим высоты . При пересечении с прямой получим точки Тогда складывается из отрезков причем,

FT можно выразить из подобия треугольников

Найдем

Подставим в формулу отношения площадей:

Теперь составим систему уравнений:

Решаем ее и получаем:

Находим отношения оснований трапеции:

Ответ: