Задача по теме: "Окружности и треугольники"

Решение:

а)

Окружность с центром касается в точке , так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Отрезки равны как радиусы, поэтому треугольник - прямоугольный и равнобедренный, значит, угол C

В равнобедренном треугольнике проведем биссектрису из вершины C. Обозначим через ее точку пересечения с хордой .

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, угол

Отсюда получаем, что

Таким образом, в треугольнике точка лежит на пересечени биссектрис углом то есть - центр окружности, вписанной в треугольник , поэтому точки совпадают. Значит, точка лежит на отрезке .

Аналогично доказывается, что точно лежит на отрезке .

б) Из треугольника ABC по теореме Пифагора:

Так как , то

Таким образом,

Из треугольника находим, что

Так как прямые совпадают, то расстояние от точки до прямой равно высоте равнобедренного прямоугольного треугольника , проведенной из вершины , то есть .

Ответ: