Мы используем файлы cookie

Только с ними все в интернете работает так, как нужно 🍪

Политика использования cookies

Если у тебя есть AdBlock - то отключи его для нашей платформы. Рекламы у нас нет, а удалить он может лишнего 🙈

Профильная математика

Задача по теме: "Числа и их свойства"

Профильная математика

Задание 19 Числа и их свойства

Автор

Ященко И.В. Математика. Профильный уровень: единый государственный экзамен. — Москва: Издательство "Национальное образование", 2024. — 224 с. Материалы публикуются в учебных целях

Просмотры

317

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру $1$ , к каждому числу из второй группы - цифру $8$ , а числа из третьей группы оставили без изменений.

a) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $4$ раза?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в $18$ раз?

в) Сумма всех этих чисел увеличилась в $11$ раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Решение:

а) Разобьем число: $3421 равно 3420 плюс 1 равно 34210 плюс 1$ ; Обозначим: $p минус больше 10 p плюс 1 точка с запятой v минус больше 10 v плюс 8 точка с запятой t$

Тогда:

$10 p плюс 1 плюс 10 v плюс 8 плюс t равно 4 левая скобка p плюс v плюс t правая скобка$

$6 p плюс 6 v равно 3 t минус 9 точка с запятой, 2 левая скобка p плюс v правая скобка равна t минус 3 точка с запятой, t равно 2 левая скобка p плюс v правая скобка плюс 3$

$1 плюс 2 плюс 9 равно 12 минус больше 11 плюс 28 плюс 9 равно 48 равно 412 равно больше$ да, могла $равно большему, чем$ ДА

б) Введем обозначение $P равно p подстрочный индекс 1 плюс p подстрочный индекс 2 плюс... плюс p k равно больше, чем P подстрочный индекс 2 равен левой круглой скобке 10 p подстрочный индекс 1 плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 10 p подстрочный индекс 2 плюс 1 правая круглая скобка плюс... плюс левая скобка 10 p с индексом k плюс 1 правая скобка равно$

$равно 10 в левой круглой скобке p с индексом 1 плюс p с индексом 2 плюс... плюс p с индексом k в правой круглой скобке плюс K равно 10 P плюс K$

Обозначение $V равно v индексу 1 плюс v индексу 2 плюс... плюс v n равно больше, чем V индекс 2 равен 10 в левой скобке, v индекс 1 плюс 8 в правой скобке плюс... плюс 10 в левой скобке к нижнему индексу n плюс 8 в правой скобке равно 10 в левой скобке к нижнему индексу 1 плюс... плюс 10 в нижней скобке к правой скобке плюс 8 n равно 10 В плюс 8 n$

и обозначение $T равно t индексу 1 плюс t индексу 2 плюс... плюс t индекс m$

K штук - $1$ группа; $n$ штук - $2$ группа; m штук - $3$ группа

В сумме будет: $P плюс V плюс T через точку с запятой P индекс 2 плюс V индекс 2 плюс V индекс 2$ и вторая сумма в $18$ раз больше первой. Тогда:

$10 P плюс K плюс 10 V плюс 8 n плюс T равно 18 в левой скобке P плюс V плюс T в правой скобке точка с запятой 8 P плюс 8 V плюс 17 T равно K плюс 8 n$

$P равно p с индексом 1 плюс p с индексом 2 плюс... плюс p n с индексом 1 плюс 2 плюс 3 плюс... плюс K K$

$8 P плюс 8 V плюс 17 T больше или равно 8 K плюс 8 n плюс 17 больше, чем K плюс 8 n пробел равен больше, чем пробел$ возникает противоречие $равно большему, чем$ НЕТ

в) Запишем условие через наши введенные обозначения: $числитель дроби P подстрочный индекс 2 плюс V подстрочный индекс 2 плюс T над знаменателем P плюс V плюс T конечная дробь равна 11 равна числителю дроби 10 P плюс K плюс 10 V плюс 8 n плюс T над знаменателем P плюс V плюс T конечная дробь равна числителю дроби 10 P плюс 10 V плюс 10 T плюс K плюс 8 n минус 9 T в знаменателе P плюс V плюс T конечная дробь равна 10 плюс числитель дроби K плюс 8 n минус 9 T в знаменателе P плюс V плюс T конечная дробь меньше или равна 10 плюс числитель дроби K плюс 8 n минус 9 в знаменателе P плюс V плюс T конечная дробь$

$10 плюс дробь в числителе 1 плюс 8 n минус 9 в знаменателе P плюс V плюс T конечная дробь$ , при $K равно 1$

$K плюс 8 n меньше левой круглой скобки K минус 1 правая круглая скобка плюс 8 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка равно K плюс 8 n плюс 7 равно 10 плюс числитель дроби 8 n минус 8 в знаменателе P плюс V плюс T конечная дробь равна числителю дроби 10 плюс 16 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка над знаменателем левая скобка n плюс 3 правая скобка левая скобка n плюс 2 правая скобка конечная дробь равна 10 плюс 16 f левая скобка n правая скобка$ , где

$f левая скобка n правая скобка равна числителю дроби n минус 1 над знаменателем левая скобка n плюс 3 правая скобка левая скобка n плюс 2 пробел в конце правой скобки больше пробела f левая скобка n плюс 1 правая скобка минус f левая скобка n правая скобка равна числителю дроби n над знаменателем левая скобка n плюс 4 правая скобка левая скобка n плюс 3 правая скобка конечная дробь минус числитель дроби n минус 1 над знаменателем левая скобка n плюс 3 правая скобка левая скобка n плюс 2 правая скобка конечная дробь равна числителю дроби n 2 плюс 2 n минус левая скобка n минус 1 правая скобка левая скобка n плюс 4 правая скобка над числителем знаменатель левая скобка n плюс 4 правая скобка левая скобка n плюс 3 правая скобка левая скобка n плюс 2 конечная дробь правой скобки больше 0$ при n<4

Следовательно:

$10 плюс 16 f левая скобка n правая скобка меньше или равна 10 плюс 16 больше 14 равно 10 плюс 87 равно 11 1 больше 7$ - достигается при $n пробелов равно 5$

Пробежимся по значениям $n$ :

$n равно 6 двоеточие 10 плюс 16 f левая скобка 6 правая скобка равно 1119$

$n равно 7 двоеточие 10 плюс 16 f левая скобка 7 правая скобка равно 11115$

$n равно 8 двоеточие 10 плюс 16 f левая скобка 8 правая скобка равно 11155$

$n равно 9 двоеточие 10 плюс 16 f левая скобка 9 правая скобка равно 103233 меньше 11$

Следовательно, всего может быть $10$ чисел.

Пример: для $n равно 8$ :

$2 пробел вертикальная линия пробел 3 пробел 4 пробел 5 пробел 6 пробел 7 пробел 8 пробел 9 пробел x пробел вертикальная линия пробел 1 пробел$ - тут сумма $45 плюс x$

$21 пробел вертикальная линия пробел 38 пробел 48 пробел 58 пробел 68 пробел 78 пробел 88 пробел 98 пробел 10 x плюс 8 пробелов вертикальная линия пробел 1 пробел$ - тут сумма $22 плюс дробь в числителе, умноженная на 136 умножить на 7, на знаменатель 2. конечная дробь плюс 10 x плюс 8 равно больше, чем x равно 506 минус 495 равно 11.$

Суммы: $56$ и $616$ , при делении дадут $11$ .

Ответ: а)ДА б)НЕТ в) $10$

Нет аккаунта?

Привет, ! Как будем входить?

Введите больше 6 символов

Проблемы со входом?

Введи последние 4 цифры номера, с которого
поступит звонок. Трубку брать не нужно.

Повторный звонок через

сек.

Добро пожаловать!

Зарегистрируйся и получи Демо мастер-группы на 10 дней по любимым предметам бесплатно.

Добро пожаловать!

Как тебя зовут?

Привяжем номер телефона

Нажимая на копку, Вы выражаете своё согласие с офертой

Введите не меньше 2 символов

Привяжем номер телефона

Повторный звонок через

30 сек.

Теперь нужно подтвердить номер - введи последние 4 цифры номера, с которого поступит звонок. Трубку брать не нужно

Введите не меньше 2 символов

Придумаем пароль

Почти закончили! Теперь нужно создать надежный пароль

Введите не меньше 2 символов

Немного о тебе

В какой класс ты переходишь?

Введите не меньше 2 символов

На почту 12345@mail.ru отправлена ссылка для сброса пароля.

	МГ	Pro	ProMax
Практика на платформе
Отслеживание прогресса обучения
Двухуровневое домашнее задание после каждого вебинара
Все материалы составлены экспертом ЕГЭ
Персональный менеджер
Личный куратор
Разбор ошибок личным куратором
Еженедельные созвоны с куратором для закрытия индивидуальных пробелов
Составление индивидуального расписания

Задача по теме: "Числа и их свойства"

Сообщение об ошибке

Здравствуйте!

Оплата прошла успешно!

Оплата не прошла