Задача по теме: "Числа и их свойства"

Решение:

а) Введем обозначения:

-наименьшее натуральное число

-наибольшее натуральное число

Запишем выражения из условия задачи:

Избавимся от знаменателя:

Избавимся от знаменателя:

Пусть самое большое число равно , и числа идут по убыванию по порядку, чтобы получилась максимальная сумма. Посчитаем сумму этих чисел:

Полученная сумма максимальная при заданных условиях и меньше нужной суммы . Следовательно, ответ: НЕ МОЖЕТ

б) Запишем выражение среднего арифметического:

 Избавимся от знаменателя:

Упростим выражение, учитывая, что сумма первых членов равна :

Тогда получается:

Поскольку числа различны, и меньше , то второе должно быть и больше. Допустим, оно равно , тогда , тогда , , , , .

Найдем сумму с по число:

По условию, сумма должна равняться , а получается намного больше. Следовательно - НЕ МОЖЕТ

в) Пусть наименьшее значение равно :

11n минимально, когда сумма и члена максимально. Подберем максимальное значение для 6 члена, чтобы не было противоречий суммам и . Начнем с условия :

Сделаем прикидку: ; ;...;

Тогда:

Подберем член так, чтобы выполнялось условие:

Если , то

Тогда:

;

Максимальная сумма получается при условии ;

Проверим эту сумму на существование:

- выполняется

- выполняется

Максимальная сумма равна

Тогда:

Ответ:

Ответ: а)НЕТ  б)НЕТ  в)