Мы используем файлы cookie

Только с ними все в интернете работает так, как нужно 🍪

Политика использования cookies

Если у тебя есть AdBlock - то отключи его для нашей платформы. Рекламы у нас нет, а удалить он может лишнего 🙈

Профильная математика

Задача по теме: "Числа и их свойства"

Профильная математика

Задание 19 Числа и их свойства

Автор

Ященко И.В. Математика. Профильный уровень: единый государственный экзамен. — Москва: Издательство "Национальное образование", 2024. — 224 с. Материалы публикуются в учебных целях

Просмотры

Для действительного числа $x$ обозначим через $[x]$ наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, $[11/4]=2$ , так как $2<=11/4<3$ .

а) Существует ли такое натуральное число $n$ , что $[n/2]+[n/4]+[n/9]=n$ ?

б) Существует ли такое натуральное число $n$ , что $[n/2]+[n/3]+[n/5]=n+2$ ?

в) Сколько существует различных натуральных $n$ , для которых $[n/2]+[n/8]+[n/23]=n+2021$ ?

Решение:

а)Так как $левая квадратная скобка x правая квадратная скобка меньше или равна x$ можно перенести это свойство и на дроби: $раскройте квадратные скобки n более чем на 2 закройте квадратные скобки плюс открытые квадратные скобки n более чем на 3 закройте квадратные скобки плюс открытые квадратные скобки n более чем на 9 закройте квадратные скобки, меньшие или равные n более чем на 2 плюс n более чем на 3 плюс n более чем на 9$

Приведем к общему знаменателю:

$n больше 2 плюс n больше 3 плюс n больше 9 равно числителю дроби 9 n плюс 6 n плюс 2 n в знаменателе 18 конечная дробь равна числителю дроби 17 n в знаменателе 18 конечная дробь меньше n$

То есть сумма чисел меньше $n$ , а числа в задаче еще меньше, следовательно, НЕТ

б) Для проверки сделаем ту же операцию, что и в пункте $а$ :

$открытые квадратные скобки n более 2 закрытых квадратных скобок плюс открытые квадратные скобки n более 3 закрытых квадратных скобок плюс открытые квадратные скобки n более 5 закрытых квадратных скобок равно n более 2 плюс n более 3 плюс n более 5 равно числителю дроби 15 n плюс 10 n плюс 6 n над знаменателем 30 конечная дробь равна числителю дроби 31 n в знаменателе 30 конечная дробь$

Упростим и выразим $n$ :

$n плюс 2 меньше или равно числителю дроби 31 n больше знаменателя 30 конечная дробь$

$30 н плюс 60 меньше или равно 31 н$

$n больше или равно 60$

Приверим $n равно 60$ :

$открытые квадратные скобки 60 на 2 закрывающие квадратные скобки плюс открытые квадратные скобки 60 на 3 закрывающие квадратные скобки плюс открытые квадратные скобки 60 на 5 закрывающие квадратные скобки равны 60 плюс 2$

$30 плюс 20 плюс 12 равно 62$

$62 равно 62$

Получилось верное равенство, а значит, да, существует

в) Запишем условие:

$открытые квадратные скобки n более 2 закрытых квадратных скобок плюс открытые квадратные скобки n более 3 закрытых квадратных скобок плюс открытые квадратные скобки n более 8 закрытых квадратных скобок плюс открытые квадратные скобки n более 23 закрытых квадратных скобок равно n плюс 2021$

В этом пункте будем работать с остатками от деления, для этого введем обозначения:

$a$ - остаток от деления на $2$

$b$ - остаток от деления на $3$

$c$ - остаток от деления на $8$

$d$ - остаток от деления на $23$

Так будем записывать число через остаток:

$n равно 2 x плюс a$

$x равно n больше 2 минус a больше 2$

Тогда:

$открытые квадратные скобки n больше 2 закрытые квадратные скобки равны n больше 2 минус a больше 2$

Аналогично:

$открытые квадратные скобки n больше 3 закрытые квадратные скобки равны n больше 3 минус b больше 3$

$открытые квадратные скобки n больше 8 закрытые квадратные скобки равны n больше 8 минус c больше 8$

$открытые квадратные скобки n больше 23 закрытые квадратные скобки равны n больше 23 минус d больше 23$

Подставим теперь в начальное выражение:

$n больше 2 минус a больше 2 плюс n больше 3 минус b больше 3 плюс n больше 8 минус c больше 8 плюс n больше 23 минус d больше 23 равно n плюс 2021$

$числитель дроби 5276 n плюс 184 n плюс 69 n плюс 24 n минус 276 a минус 184 b минус 69 c минус 24 d в знаменателе 552 конечная дробь равна n плюс 2021$

$n равно 276 a плюс 184 b плюс 69 c плюс 24 d плюс 2021 умножить на 552$

Какие значения могут принимать остатки:

$a равно 0 точка с запятой 1$

$b равно 0 точка с запятой 1 точка с запятой 2$

$c равно 0 точка с запятой 1 точка с запятой 2 точка с запятой 3 точка с запятой 4 точка с запятой 5 точка с запятой 6 точка с запятой 7$

$d равно 0 точка с запятой 1 точка с запятой 2 точка с запятой 3 точка с запятой 4 точка с запятой 5 точка с запятой 6 точка с запятой 7 точка с запятой 8 точка с запятой 9 точка с запятой 10 точка с запятой 11 точка с запятой 12 точка с запятой 13 точка с запятой 14 точка с запятой 15 точка с запятой 16 точка с запятой 17 точка с запятой 18 точка с запятой 19 точка с запятой 20 точка с запятой 21 точка с запятой 22$

Остаток от $8$ задаст остаток от $2$ :

Если $c равно 0 точка с запятой 2 точка с запятой 4 точка с запятой 6$ , то $a равно 0$

Если $c равно 1 точке с запятой 3 точке с запятой 5 точке с запятой 7$ , то $a равно 1$

Остается посчитать число вариантов:

Для $b$ $3$ варианта, для $с пробел минус пробел 8$ , для $d пространство 23$ , а варианты a зависят от $с$ .

Итого: $552$ варианта

Теперь докажем, что все эти варианты подойдут:

$n равно 276 a плюс 184 b плюс 69 c плюс 24 d плюс 2021 умножить на 552$

$n равно 552 в левой скобке a 2 плюс b 3 плюс c 8 плюс d 23 плюс 2021 в правой скобке$

Например, существует набор остатков $а 1$ , $b 1$ , $с 1$ , $d 1$ .

$n равно 552 в левой скобке a индекс 1 больше 2 плюс b индекс 1 больше 3 плюс c индекс 1 больше 8 плюс d индекс 1 больше 23 плюс 2021 в правой скобке$

Чтобы все $552$ варианта существовали, нужно чтобы $1$ и $2$ выражения совпали:

$пробел 552 левая скобка a больше 2 плюс b больше 3 плюс c больше 8 плюс d больше 23 плюс 2021 правая скобка равна 552 левая скобка a с индексом 1 больше 2 плюс b с индексом 1 больше 3 плюс c с индексом 1 больше 8 плюс d с индексом 1 больше 23 плюс 2021 правая скобка$

$a больше 2 плюс b больше 3 плюс c больше 8 плюс d больше 23 плюс 2021 год равно a индекс 1 больше 2 плюс b индекс 1 больше 3 плюс c индекс 1 больше 8 плюс d индекс 1 больше 23 плюс 2021 год$

$a больше 2 плюс b больше 3 плюс c больше 8 плюс d больше 23 равно a индекс 1 больше 2 плюс b индекс 1 больше 3 плюс c индекс 1 больше 8 плюс d индекс 1 больше 23$

$12 a плюс 8 b плюс 3 c плюс числитель дроби 24 d над знаменателем 23 конечная дробь равна 12 a индекс 1 плюс 8 b индекс 1 плюс 3 c индекс 1 плюс числитель дроби 24 d индекс 1 над знаменателем 23 конечная дробь$

$12 a плюс 8 b плюс 3 c плюс числитель дроби 24 d над знаменателем 23 конечная дробь минус 12 a индекс 1 минус 8 b индекс 1 минус 3 c индекс 1 минус числитель дроби 24 d над знаменателем 123 конечная дробь равна 0$

$12 левых скобок a минус a 1 правая скобка плюс 8 левых скобок b минус b 1 правая скобка плюс 3 левые скобки c минус c 1 правая скобка плюс 24 на 23 левая скобка d минус d 1 правая скобка равно 0$

Чтобы дробь сократилась, то ( $d минус индекс d 1$ ) должно равняться $23$ , что невозможно, учитывая область значений $d$ . Следовательно, $d$ и $d подстрочный индекс 1$ - одно и то же число.

Аналогично совпадают и $b$ с $b подстрочный индекс 1$ ; $с$ и $индекс c 1$ . А следовательно совпадают все коэффициенты.

Ответ: $552$

Ответ: а)НЕТ б)ДА в) $552$

Нет аккаунта?

Привет, ! Как будем входить?

Введите больше 6 символов

Проблемы со входом?

Введи последние 4 цифры номера, с которого
поступит звонок. Трубку брать не нужно.

Повторный звонок через

сек.

Добро пожаловать!

Зарегистрируйся и получи Демо мастер-группы на 10 дней по любимым предметам бесплатно.

Добро пожаловать!

Как тебя зовут?

Привяжем номер телефона

Нажимая на копку, Вы выражаете своё согласие с офертой

Введите не меньше 2 символов

Привяжем номер телефона

Повторный звонок через

30 сек.

Теперь нужно подтвердить номер - введи последние 4 цифры номера, с которого поступит звонок. Трубку брать не нужно

Введите не меньше 2 символов

Придумаем пароль

Почти закончили! Теперь нужно создать надежный пароль

Введите не меньше 2 символов

Немного о тебе

В какой класс ты переходишь?

Введите не меньше 2 символов

На почту 12345@mail.ru отправлена ссылка для сброса пароля.

	МГ	Pro	ProMax
Практика на платформе
Отслеживание прогресса обучения
Двухуровневое домашнее задание после каждого вебинара
Все материалы составлены экспертом ЕГЭ
Персональный менеджер
Личный куратор
Разбор ошибок личным куратором
Еженедельные созвоны с куратором для закрытия индивидуальных пробелов
Составление индивидуального расписания

Задача по теме: "Числа и их свойства"

Сообщение об ошибке

Здравствуйте!

Оплата прошла успешно!

Оплата не прошла