Задача по теме: "Объёмы многогранников"

Решение:

a) Прямая лежит в плоскости , параллельной плоскости . Следовательно, прямые и не имеют общих точек, а поскольку эти прямые лежат в одной и той же плоскости , они параллельны. Тогда по теореме Фалеса точка - середина ребра . Аналогично точка - середина ребра . Таким образом, отрезок - средняя линия треугольника . Отсюда следует, что площадь треугольника составляет четверть площади треугольника , а тогда площадь четырёхугольника составляет- площади треугольника .

б) Пусть отрезок - высота пирамиды . Прямые и параллельны, а точка - середина отрезка , значит, отрезок является средней линией треугольника

и

Объём пирамиды равен

Объём пирамиды равен

Значит, объём пирамиды равен

Пирамиды и имеют общую высоту, равную расстоянию от точки до плоскости . Пусть - площадь треугольника , тогда площадь четырёхугольника равна

Объём пирамиды   равен   . C другой стороны, он равен , откуда

.

Объём пирамиды равен

Ответ: б) .