Задача по теме: "Объёмы многогранников"

Решение:

a) Пусть прямые и пересекаются в точке , a - высота пирамиды . Поскольку пирамида правильная, центр правильного шестиугольника совпадает с точкой . Значит, прямая лежит в плоскости . Следовательно, плоскость перпендикулярна плоскости .

Получаем, что прямая , являющаяся прямой пересечения плоскостей и , перпендикулярна плоскости . Значит, отрезок является высотой в треугольнике .

Рассмотрим правильный шестиугольник .

Прямые и параллельны, а точка - середина отрезка , следовательно, отрезок - средняя линия треугольника и . Таким образом, отрезок является медианой и высотой в треугольнике , значит, этот треугольник равнобедренный и .

б) В пункте a было доказано, что прямая перпендикулярна плоскости , следовательно, отрезок является высотой пирамиды . Поскольку отрезок является средней линией треугольника ,

В треугольнике имеем:

Пусть точка - середина отрезка . Тогда средняя линия треугольника параллельна прямой , а значит, и прямой . Следовательно, расстояние от точки до прямой CD равно расстоянию от точки L до прямой CD и равно 34 расстояния h между прямыми AF и CD.

Площадь треугольника равна

Объём пирамиды равен

Ответ: б)