Задача по теме: "Смешанные неравенства"

Решение:

   Определим ОДЗ:

Найдем все значения x, при которых аргументы логарифма положительны. Решим систему неравенств:

и

Получаем:

и

Объединим эти промежутки:

Вернемся к неравенству и разделим его на четыре возможных случая:

1)

2)

3)

4)

Разберем каждый случай

1) 

Приведем логарифмы к основанию 2: 

Преобразуем выражение используя свойства и

Приведем подобные слагаемые:

Перенесем константы вправо за знак неравенства:

Упростим выражение, используя

Выражение равносильно

Так как в выражении есть модуль, то нужно рассмотреть все возможные случаи:

1)

2)

Решим эти неравенства:

1)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Перенесем все слагаемые влево:

Для решения воспользуемся формулой дискриминанта и корней квадратного уравнения (корни уравнения можно найти другим способом – по теореме Виета).

Получаем

2)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Перенесем все слагаемые влево: