Мы используем файлы cookie

Только с ними все в интернете работает так, как нужно 🍪

Политика использования cookies

Если у тебя есть AdBlock - то отключи его для нашей платформы. Рекламы у нас нет, а удалить он может лишнего 🙈

Профильная математика

Задача по теме: "Смешанные неравенства"

Профильная математика

Задание 15 Смешанные неравенства

Автор

Ященко И.В. Математика. Профильный уровень: единый государственный экзамен. — Москва: Издательство "Национальное образование", 2024. — 224 с. Материалы публикуются в учебных целях

Просмотры

122

Решите неравенство $(4^x-5*2^x)^2-20(4^x-5*2^x)<=96.$

Решение:

Выполним замену $4 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x равно t двоеточие$

$раскройте круглые скобки на 4 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x закрыть круглые скобки в квадрате минус 20 открыть круглые скобки на 4 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x закрыть круглые скобки, меньшие или равные 96$

$t в квадрате минус 20, t меньше или равно 96$

Перенесем все слагаемые влево за знак неравенства:

$t в квадрате минус 20 t минус 96 меньше или равно 0$

Для решения воспользуемся формулой дискриминанта и корней квадратного уравнения (корни уравнения можно найти другим способом – по теореме Виета).

$t в квадрате минус 20 t минус 96 равно 0$

$текст D=b конечный текст в квадрате минус текст 4ac конечный текст равен открытым скобкам минус 20 закрытым скобкам в квадрате минус 4 раза, 1 раз открытым скобкам минус 96 закрытым скобкам равно 400 плюс 384 равно 784$

$индекс t 1 равен числителю дроби, отрицательному b, плюс квадратный корень из D в знаменателе 2, конечная дробь равна числителю дроби 20, плюс квадратный корень из 784 в знаменателе 2, конечная дробь равна числителю дроби 20, плюс 28 в знаменателе 2, конечная дробь равна 24$

$t индекс 2 равен отрицательному значению дроби b минус квадратный корень из D в знаменателе 2 a конечная дробь равна числителю дроби 20 минус квадратный корень из 784 в знаменателе 2 конечная дробь равна числителю дроби 20 минус 28 в знаменателе 2 конечная дробь равна отрицательному 4$

Отметим корни на числовой прямой:

Получаем, что $t элемент левой квадратной скобки отрицательный 4 точка с запятой 24 правая квадратная скобка$

Выполним обратную замену:

$4 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x элемент открытых квадратных скобок минус 4 запятая 24 закрыть квадратные скобки$

Представим $4 в степени x$ в виде $левая скобка 2 в степени x правая скобка в квадрате двоеточие$

$раскройте скобки на 2 в степени x закройте скобки в квадрате минус 5 умножьте на 2 в степени x элемент открытых квадратных скобок минус 4 запятая 24 закройте квадратные скобки$

Запишем интервал в виде неравенств:

$раскройте фигурные скобки атрибуты таблицы выровняйте столбец по левому краю атрибутов ячейки строки раскройте круглые скобки на 2 в степени x закройте круглые скобки в квадрате минус 5 раз по 2 в степени x, большей или равной отрицательному значению 4. закройте квадратные скобки в конце ячейки строки раскройте круглые скобки на 2 в степени x закройте круглые скобки в квадрате минус 5 раз по 2 в степени x. x меньше или равно 24 конечным ячейкам конечной таблицы закрыть$

Рассмотрим первое неравенство:

$раскройте круглые скобки на 2 в степени x, закройте квадратные скобки, умноженные на минус 5, умноженные на 2 в степени x, большей или равной отрицательному значению 4$

Перенесем константу влево:

$раскройте круглые скобки на 2 в степени x, закройте квадратные скобки на минус 5, умноженные на 2 в степени x, плюс 4, которые больше или равны 0.$

Сделаем замену $2 в степени x равно двоеточию t$

$t в квадрате минус 5 t плюс 4 больше или равно 0$

Воспользуемся формулой дискриминанта и найдем корни:

$t индекс 1 равен 1$

$индекс t 2 равен 4$

Отметим на числовой прямой полученные точки:

$t элемент открытых круглых скобок отрицательная бесконечность запятая 1 закрывающие квадратные скобки объединение открытые квадратные скобки 4 запятая плюс бесконечность закрывающие круглые скобки$

Сделаем обратную замену:

$2 в степени x элемент открытых круглых скобок отрицательная бесконечность запятая 1 закрывающие квадратные скобки объединение открытые квадратные скобки 4 запятая плюс бесконечность закрывающие круглые скобки$

Записать интервал в виде неравенства:

$2 в степени x, меньшей или равной 1$ и $2 в степени x, большей или равной 4$

Решим неравенства и получим:

$x меньше или равно 0$ и $x больше или равно 2$

Представим в виде интервала:

$x элемент открытых круглых скобок отрицательная бесконечность запятая 0 закрывающие квадратные скобки объединение открытые квадратные скобки 2 запятая плюс бесконечность закрывающие круглые скобки$

Рассмотрим второе неравенство:

$раскройте круглые скобки на 2 в степени x, закройте квадратные скобки на минус 5, умноженные на 2 в степени x, меньшей или равной 24$

Перенесем константу влево:

$раскройте круглые скобки на 2 в степени x, закройте квадратные скобки на минус 5, умноженные на 2 в степени x, минус 24, которые меньше или равны 0.$

Сделаем замену $2 в степени x пробел равен t двоеточию$

$t в квадрате минус 5 t минус 24 меньше или равно 0$

Воспользуемся формулой дискриминанта и найдем корни:

$индекс t 1 равен отрицательному значению 3$

$индекс t 2 равен 8$

Отметим на числовой прямой полученные точки:

$t элемент открытых квадратных скобок отрицательный 3 запятая 8 закрытых квадратных скобок$

Сделаем обратную замену:

$2 в степени x элемент открытых квадратных скобок отрицательный 3 запятая 8 закройте квадратные скобки$

Записать интервал в виде неравенства:

$2 в степени x, большей или равной отрицательной 3$ и $2 в степени x, меньшей или равной 8$

Решим неравенства и получим:

$x элемент из R$ и $x меньше или равно 3$

Представим в виде интервала:

$x элемент открытых круглых скобок отрицательная бесконечность запятая 0 закрывающие квадратные скобки$

Перепишем систему:

$открытые фигурные скобки атрибуты таблицы columnalign атрибуты левого конца строка ячейка x элемент открытых круглых скобок отрицательная бесконечность запятая 0 закрывающие квадратные скобки объединение открытые квадратные скобки 2 запятая плюс бесконечность закрывающие круглые скобки конечная ячейка строка ячейка x элемент открытых круглых скобок отрицательная бесконечность запятая 3 закрывающие квадратные скобки конечная ячейка конечная таблица закрыть$

Найдем пересечения интервалов:

$x элемент открытых круглых скобок отрицательная бесконечность запятая 0 закрывающие квадратные скобки объединение открытые квадратные скобки 2 запятая 3 закрывающие квадратные скобки$

Ответ: $x элемент открытых круглых скобок отрицательная бесконечность запятая 0 закрывающие квадратные скобки объединение открытые квадратные скобки 2 запятая 3 закрывающие квадратные скобки$

Нет аккаунта?

Привет, ! Как будем входить?

Введите больше 6 символов

Проблемы со входом?

Введи последние 4 цифры номера, с которого
поступит звонок. Трубку брать не нужно.

Повторный звонок через

сек.

Добро пожаловать!

Зарегистрируйся и получи Демо мастер-группы на 10 дней по любимым предметам бесплатно.

Добро пожаловать!

Как тебя зовут?

Привяжем номер телефона

Нажимая на копку, Вы выражаете своё согласие с офертой

Введите не меньше 2 символов

Привяжем номер телефона

Повторный звонок через

30 сек.

Теперь нужно подтвердить номер - введи последние 4 цифры номера, с которого поступит звонок. Трубку брать не нужно

Введите не меньше 2 символов

Придумаем пароль

Почти закончили! Теперь нужно создать надежный пароль

Введите не меньше 2 символов

Немного о тебе

В какой класс ты переходишь?

Введите не меньше 2 символов

На почту 12345@mail.ru отправлена ссылка для сброса пароля.

	МГ	Pro	ProMax
Практика на платформе
Отслеживание прогресса обучения
Двухуровневое домашнее задание после каждого вебинара
Все материалы составлены экспертом ЕГЭ
Персональный менеджер
Личный куратор
Разбор ошибок личным куратором
Еженедельные созвоны с куратором для закрытия индивидуальных пробелов
Составление индивидуального расписания

Задача по теме: "Смешанные неравенства"

Сообщение об ошибке

Здравствуйте!

Оплата прошла успешно!

Оплата не прошла