Задача по теме: "Смешанные неравенства"

Решение:

   Сначала найдем ОДЗ. Найдем точки, в которых аргумент логарифма больше нуля:

Решив каждое неравенство, получим:

Таким образом, ОДЗ примет вид:

Вернемся к решению неравенства. Основания логарифмов представим в виде степеней с основанием 5.

Преобразуем выражение, используя

Используя преобразуем выражение:

Используем свойство

Применим свойство степеней

Применим формулу разности квадратов

Чтобы возвести произведение в степень, возведите каждый множитель в эту степень:

Вынесем минус:

Отрицательное основание в четной степени положительно:

При выражение равносильно

Вынесем общую степень:

Внесем x в скобки:

Используем формулу

Используем формулу

Перенесем все слагаемые влево за знак неравенства:

Приведем подобные слагаемые:

Чтобы упростить многочлен, выполним следующие преобразования:

Таким образом, получим следующий многочлен:

Рассмотрим все возможные случаи выполнения неравенства:

1)

2)

Найдем решение неравенств

и

Получим

и

Рассмотрим первую систему:

1)

Рассмотрим случаи, при которых неравенство верно:

и

Найдем решения неравенств

и

и

Найдем корни уравнения

Для решения воспользуемся формулой дискриминанта и корней квадратного уравнения (корни уравнения можно найти другим способом – по теореме Виета).

Отметим корни на числовой прямой:

Если то

Если то

Системы будут иметь решения:

и

Пересечение интервалов внутри систем:

и

Объединение:

Полное решение первой системы:

1)

Рассмотрим полное решение второй системы:

2)

Рассмотрим случаи, при которых неравенство верно:

и

Найдем решения систем:

и

Пересечение интервалов:

и

Их объединение:

Полное решение обеих систем:

1)

2)

Найдем пересечение интервалов внутри систем:

1)

2)

Найдем объединение, учитывая ОДЗ:

   Ответ: