Задача по теме: "Смешанные неравенства"

Решение:

 Сначала найдем ОДЗ:

и

Так как степень четная, то выражения всегда будут больше нуля за исключением так как в этом случае выражение будет равно нулю. Таким образом .

Приведем основания логарифмов к степеням с основаниями

Преобразуем выражение с помощью формулы для четного

Преобразуем выражение используя

Раскроем скобки и возведем в квадрат:

Разделим каждое слагаемое неравенства на

Выполним замену

Перенесем слагаемые влево за знак неравенства:

Для решения воспользуемся формулой дискриминанта и корней квадратного уравнения (корни уравнения можно найти другим способом – по теореме Виета).

Отметим на числовой прямой эти точки и учитывая знак неравенства выберем промежуток:

Получаем, что

Выполним обратную замену и получим:

Запишем в виде системы:

Решим каждое неравенство отдельно:

1)

При выражение равносильно

Так как в неравенстве есть модуль, то раскрыв его, получим еще два случая:

1)

2)

Решим эти неравенства и получим:

1)

2)

Найдем пересечение этих интервалов:

1)

2)

Объединим эти промежутки и в итоге получим:

1)

Рассмотрим второе неравенство из системы:

2)

При выражение равносильно

Используем следующее свойство

Так как в неравенстве есть модуль, то раскрыв его, получим еще два случая:

1)

2)

Решим эти неравенства и получим:

1)

2)

Найдем пересечение этих интервалов:

1)

2)
Объединим эти промежутки и в итоге получим:

2)

Решив систему получили следующие промежутки:

1)

2)

Найдем их объединение, учитывая ОДЗ:

   Ответ: