Мы используем файлы cookie

Только с ними все в интернете работает так, как нужно 🍪

Политика использования cookies

Если у тебя есть AdBlock - то отключи его для нашей платформы. Рекламы у нас нет, а удалить он может лишнего 🙈

Профильная математика

Задача по теме: "Тригонометрические уравнения"

Профильная математика

Задание 13 Тригонометрические уравнения

Автор

Ященко И.В. Математика. Профильный уровень: единый государственный экзамен. — Москва: Издательство "Национальное образование", 2024. — 224 с. Материалы публикуются в учебных целях

Просмотры

152

а) Решите уравнение $4log2 ^2 (sinx)-3log0,5 (sin^2 x)+2=0$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-7пи/2;-2пи].$

Решение:

Сперва ОДЗ для того, чтобы логарифм имел смысл: $sin x больше 0.$

а) Для того, чтобы решить уравнение, нужно чтобы основания логарифмов были одинаковыми.

$4 нижний индекс журнала 2 верхний индекс 2 открытые круглые скобки sin x закрывающие круглые скобки минус 3 нижний индекс журнала 0 запятая 5 конечный нижний индекс открытые круглые скобки sin в квадрате x закрывающие круглые скобки плюс 2 равно 0$

Для того чтобы преобразовать $логарифмический индекс 0 запятая 5 конечный индекс открытые круглые скобки sin в квадрате x закрывающие круглые скобки запятая$ можно воспользоваться свойством $логарифмический индекс a в степени k конечного индекса b равен 1 по сравнению с логарифмическим индексом a b двоеточие$

$4 логарифмический индекс 2 открытые скобки в квадрате sin x закрывающие скобки минус 3 логарифмический индекс 2 в степени минус 1 конечный показатель конечный индекс открытые скобки в квадрате sin x закрывающие скобки плюс 2 равен 0$

$4 логарифмический индекс 2 открытые скобки в квадрате sin x закрывающие скобки плюс 3 логарифмический индекс 2 открытые скобки sin в квадрате x закрывающие скобки плюс 2 равен 0$

Далее воспользуемся свойством $логарифмический индекс a b в степени n равен n логарифмическому индексу a b двоеточию$

$4 логарифмических индекса 2 надстрочных индекса 2 в левой круглой скобке sin x в правой круглой скобке плюс 6 логарифмических индекса 2 в открытых круглых скобках sin x в закрытых круглых скобках плюс 2 равно 0$

Выполним замену $индекс журнала 2 открытые круглые скобки sin x закрытые круглые скобки равны t двоеточие$

$4 т в квадрате плюс 6 т плюс 2 равно 0$

Для решения воспользуемся формулой дискриминанта и корней квадратного уравнения (корни уравнения можно найти другим способом – по теореме Виета).

$прямая D равна b в квадрате минус 4 a c равно 6 в квадрате минус 4 умножить на 4 умножить на 2 равно 36 минус 32 равно 4$

$индекс t 1 равен отрицательному значению дроби b плюс квадратный корень из D в знаменателе 2 a конечная дробь равна отрицательному значению дроби 6 плюс квадратный корень из 4 в знаменателе 4 раза по 2 конечная дробь равна отрицательному значению дроби 6 плюс 2 в знаменателе 8 конечная дробь равна отрицательному значению дроби 4 в знаменателе 2 конечная дробь равна отрицательному значению дроби 1-й тайм$

$t индекс 2 равен отрицательному значению дроби b минус квадратный корень из D в знаменателе 2 a конечная дробь равна отрицательному значению дроби 6 минус квадратный корень из 4 в знаменателе 4 раза по 2 конечная дробь равна отрицательному значению дроби 6 минус 2 в знаменателе 8 конечная дробь равна отрицательному значению дроби 8 в знаменателе 8 конечная дробь равна отрицательному значению дроби 1$

Выполним обратную замену:

$индекс журнала 2 открытые круглые скобки sin x закрытые круглые скобки равны отрицательному значению 1$ и $логарифмический индекс 2 в левой скобке sin x в правой скобке равен минус 1 половине$

Избавимся от логарифмов, для этого справа и слева должны быть логарифмы с одинаковыми основаниями:

$логарифмический индекс 2 в левой круглой скобке sin x в правой круглой скобке равно минус 1 равно логарифмическому индексу 2 1 половина$ и $логарифмический индекс 2 левая скобка sin x правая скобка равна минус 1 половина равна логарифмическому индексу 2 открытые скобки дробь в числителе квадратный корень из 2 в знаменателе 2 конечная дробь закрытые скобки$

Отбросим логарифмы:

$грех x равен 1 половине$ и $sin x равен квадратному корню из числителя дроби из 2 в знаменателе 2 конечная дробь$

ОДЗ выполняется.
Получаем, что $x равно прямому числу pi больше 6 плюс 2 прямых числа pi k запятая через пробел k элемент прямых целых чисел запятая$ $x равно дроби в числителе 5 прямому числу pi в знаменателе 6 конечной дроби плюс 2 прямых числа pi в прямой n через запятую n элементов прямых целых чисел$ и $x равно прямому числу pi более 4 плюс 2 прямых числа pi m m запятая пробел m элемент прямых целых чисел запятая$ $x равно числителю дроби 3 прямому pi над знаменателем 4 конечной дроби плюс 2 прямых pi прямой p через запятую p элемент прямых целых чисел умноженный на$

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $раскройте квадратные скобки в числителе отрицательной дроби 7 прямых чисел pi над знаменателем 2 в конце дроби точка с запятой минус 2 прямых числа pi закройте квадратные скобки раз$

Отметим границы и корни на тригонометрической окружности.

Вращаемся против часовой стрелки и пройдем через точки $числитель отрицательной дроби 13 прямое число пи в знаменателе 4 конечная дробь$ и $числитель отрицательной дроби равен 19 прямым числителям числа пи над знаменателем, умноженным на конечную дробь 6 раз$

Ответ: а) $x равно прямому числу pi больше 6 плюс 2 прямых числа pi k запятая через пробел k элемент прямых целых чисел запятая$ $x равно числителю дроби 5 прямому числу pi над знаменателем 6 конечной дроби плюс 2 прямых числа pi n прямых через запятую n элементов прямых целых чисел запятая$ $x равно прямому числу pi более 4 плюс 2 прямых числа pi m запятая через пробел m элемент прямых целых чисел запятая$ $x равно числителю дроби 3 прямому pi над знаменателем 4 конечной дроби плюс 2 прямых pi прямой p запятая p элемент прямых целых чисел умноженный на$

б) $числитель отрицательной дроби 13 прямое число пи над знаменателем 4 конечная точка с запятой$ $числитель отрицательной дроби равен 19 прямым числителям числа пи над знаменателем, умноженным на конечную дробь 6 раз$

Нет аккаунта?

Привет, ! Как будем входить?

Введите больше 6 символов

Проблемы со входом?

Введи последние 4 цифры номера, с которого
поступит звонок. Трубку брать не нужно.

Повторный звонок через

сек.

Добро пожаловать!

Зарегистрируйся и получи Демо мастер-группы на 10 дней по любимым предметам бесплатно.

Добро пожаловать!

Как тебя зовут?

Привяжем номер телефона

Нажимая на копку, Вы выражаете своё согласие с офертой

Введите не меньше 2 символов

Привяжем номер телефона

Повторный звонок через

30 сек.

Теперь нужно подтвердить номер - введи последние 4 цифры номера, с которого поступит звонок. Трубку брать не нужно

Введите не меньше 2 символов

Придумаем пароль

Почти закончили! Теперь нужно создать надежный пароль

Введите не меньше 2 символов

Немного о тебе

В какой класс ты переходишь?

Введите не меньше 2 символов

На почту 12345@mail.ru отправлена ссылка для сброса пароля.

	МГ	Pro	ProMax
Практика на платформе
Отслеживание прогресса обучения
Двухуровневое домашнее задание после каждого вебинара
Все материалы составлены экспертом ЕГЭ
Персональный менеджер
Личный куратор
Разбор ошибок личным куратором
Еженедельные созвоны с куратором для закрытия индивидуальных пробелов
Составление индивидуального расписания

Задача по теме: "Тригонометрические уравнения"

Сообщение об ошибке

Здравствуйте!

Оплата прошла успешно!

Оплата не прошла