Мы используем файлы cookie

Только с ними все в интернете работает так, как нужно 🍪

Политика использования cookies

Если у тебя есть AdBlock - то отключи его для нашей платформы. Рекламы у нас нет, а удалить он может лишнего 🙈

Профильная математика

Задача по теме: "Тригонометрические уравнения"

Профильная математика

Задание 13 Тригонометрические уравнения

Автор

Ященко И.В. Математика. Профильный уровень: единый государственный экзамен. — Москва: Издательство "Национальное образование", 2024. — 224 с. Материалы публикуются в учебных целях

Просмотры

437

а) Решите уравнение $5sinx-4sin^3x=2sin2x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-7пи/2;-2пи].$

Решение:

Разложим синус двойного угла по формуле $sin 2 x равно 2 sin x умноженным на cos x двоеточие$

$5 sin x минус 4 sin в кубе x равно 2 sin 2 x$

$5 sin x минус 4 sin в кубе x равно 4 sin x умноженным на cos x$

Перенесем все слагаемые влево:

$5 sin x минус 4 sin в кубе x минус 4 sin x умноженных на x, потому что x равно 0$

Вынесем общую часть:

$sin x открытые круглые скобки 5 минус 4 sin в квадрате x минус 4 cos x закрытые круглые скобки равны 0$

Применим основное тригонометрическое тождество $sin в квадрате x плюс cos в квадрате x равно 1 двоеточию$

$sin x открытые круглые скобки 5 минус 4 открытые круглые скобки 1 минус cos в квадрате x закрытые круглые скобки минус 4 cos x закрытые круглые скобки равны 0$

$sin x открытые круглые скобки 5 минус 4 плюс 4 cos в квадрате x минус 4 cos x закрытые круглые скобки равны 0$

Приведем подобные слагаемые:

$sin x открытые круглые скобки 1 плюс 4 cos в квадрате x минус 4 cos x закрытые круглые скобки равны 0$

Выражение будет равняться нулю в двух случаях, когда $sin x равно 0$ или $4 cos в квадрате x минус 4 cos x плюс 1 равно 0$

Рассмотрим оба случая:

1) $sin x равно 0$ выполняется при $x равно pi k запятая k элемент прямых целых чисел$

2) $4 cos в квадрате x минус 4 cos x плюс 1 равно 0$
Выполним замену $потому что x равно t$

$4 t в квадрате минус 4 t плюс 1 равно 0$

Для решения воспользуемся формулой дискриминанта и корней квадратного уравнения (корни уравнения можно найти другим способом – по теореме Виета).

$4 t в квадрате минус 4 t плюс 1 равно 0$

$текст D=b конечный текст в квадрате минус текст 4ac конечный текст равен открытым скобкам минус 4 закрытые скобки в квадрате минус 4 умножить на 4 умножить на 1 равно 16 минус 16 равно 0$

$t равно числителю дроби отрицательный текст b конец текста над знаменателем 2 текста a конец текста конечная дробь равна числителю дроби 4 над знаменателем 4 раза по 2 конечная дробь равна 4 над 8 равно 1 половине$

Выполним обратную замену:

$потому что x равно 1 половине$

Получаем, что $x равно pi больше 3 плюс 2 pi n запятая n элемент прямых целых чисел$ и $x равно отрицательному числу pi более 3 плюс 2 числа pi m запятая m элемент прямых целых чисел$

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $раскройте квадратные скобки с отрицательной дробью в числителе 7 пи над знаменателем 2, поставьте точку с запятой в конце дроби минус 2 пи, закройте квадратные скобки.$

Отметим границы и корни на тригонометрической окружности.

Вращаемся против часовой стрелки и пройдем через точки $минус 3 прямых числа пи, запятая, отрицательная дробь в числителе, 7 прямых чисел пи в знаменателе, 3 конечных числа дроби, запятая, минус 2 прямых числа пи.$

Ответ:а) $x равно pi k запятая k элемент прямых целых чисел$ , $x равно pi больше 3 плюс 2 pi n запятая n элемент прямых целых чисел$ , $x равно отрицательному числу pi более 3 плюс 2 числа pi m запятая m элемент прямых целых чисел$ б) $минус 3 прямых числа пи, запятая, отрицательная дробь в числителе, 7 прямых чисел пи в знаменателе, 3 конечных числа дроби, запятая, минус 2 прямых числа пи.$

Нет аккаунта?

Привет, ! Как будем входить?

Введите больше 6 символов

Проблемы со входом?

Введи последние 4 цифры номера, с которого
поступит звонок. Трубку брать не нужно.

Повторный звонок через

сек.

Добро пожаловать!

Зарегистрируйся и получи Демо мастер-группы на 10 дней по любимым предметам бесплатно.

Добро пожаловать!

Как тебя зовут?

Привяжем номер телефона

Нажимая на копку, Вы выражаете своё согласие с офертой

Введите не меньше 2 символов

Привяжем номер телефона

Повторный звонок через

30 сек.

Теперь нужно подтвердить номер - введи последние 4 цифры номера, с которого поступит звонок. Трубку брать не нужно

Введите не меньше 2 символов

Придумаем пароль

Почти закончили! Теперь нужно создать надежный пароль

Введите не меньше 2 символов

Немного о тебе

В какой класс ты переходишь?

Введите не меньше 2 символов

На почту 12345@mail.ru отправлена ссылка для сброса пароля.

	МГ	Pro	ProMax
Практика на платформе
Отслеживание прогресса обучения
Двухуровневое домашнее задание после каждого вебинара
Все материалы составлены экспертом ЕГЭ
Персональный менеджер
Личный куратор
Разбор ошибок личным куратором
Еженедельные созвоны с куратором для закрытия индивидуальных пробелов
Составление индивидуального расписания

Задача по теме: "Тригонометрические уравнения"

Сообщение об ошибке

Здравствуйте!

Оплата прошла успешно!

Оплата не прошла