Мы используем файлы cookie

Только с ними все в интернете работает так, как нужно 🍪

Политика использования cookies

Если у тебя есть AdBlock - то отключи его для нашей платформы. Рекламы у нас нет, а удалить он может лишнего 🙈

Профильная математика

Задача по теме: "Тригонометрические уравнения"

Профильная математика

Задание 13 Тригонометрические уравнения

Автор

Ященко И.В. Математика. Профильный уровень: единый государственный экзамен. — Москва: Издательство "Национальное образование", 2024. — 224 с. Материалы публикуются в учебных целях

Просмотры

326

а) Решите уравнение $7cosx-3cos^3x=2 корень 3sin2x$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4пи;-3пи].$

Решение:

Разложим синус двойного угла по формуле $sin 2 x равно 2 sin x умноженным на cos x двоеточие$

$7 cos x минус 4 cos в кубе x равно 2 квадратным корням из 3 sin 2 x$

$7 cos x минус 4 cos в кубе x пространство равно пространству 2 квадратный корень из 3 умноженный на 2 sin x умноженный на cos x$

$7 cos x минус 4 cos пространство x в кубе равно пространству 4 квадратный корень из 3 умноженный на s в x умноженный на cos x$

Перенесем все слагаемые влево:

$7 cos x минус 4 cos в кубе x пробел минус пробел 4 квадратный корень из 3 умноженных на s в x раз cos x пробел равен 0$

Вынесем общую часть:

$cos x в левой скобке 7 минус 4 cos в квадрате x минус 4 квадратный корень из 3 sin x в правой скобке равен 0$

Применим основное тригонометрическое тождество $sin в квадрате x плюс cos в квадрате x равно 1 двоеточию$

$cos x левая скобка 7 минус 4 левая скобка 1 минус квадрат sin x правая скобка минус 4 квадратный корень из 3 sin x правая скобка равна 0$

$cos x в левой скобке 3 плюс 4 sin в квадрате x минус 4 квадратный корень из 3 sin x в правой скобке равен 0$

Выражение будет равняться нулю в двух случаях, когда $потому что x равно 0$ или $4 греха в квадрате х минус 4 квадратных корня из 3 греха х плюс 3 равно 0$

Рассмотрим оба случая:

1) $потому что x равно 0$ выполняется при $x равно pi больше 2 плюс pi k запятая k элемент прямых целых чисел$

2) $4 греха в квадрате х минус 4 квадратных корня из 3 греха х плюс 3 равно 0$
Выполним замену $sin x равно t двоеточию$

$4 t в квадрате минус 4 квадратный корень из 3 t плюс 3 равно 0$

Для решения воспользуемся формулой дискриминанта и корней квадратного уравнения (корни уравнения можно найти другим способом – по теореме Виета).

$4 t в квадрате минус 4 квадратный корень из 3 t плюс 3 равно 0$

$D равно b в квадрате минус 4 a c равно открытым скобкам минус 4 квадратный корень из 3 закрытых скобок минус 4 умножить на 4 умножить на 3 равно 48 минус 48 равно 0$

$t равно числителю дроби с отрицательным значением b над знаменателем 2 a конечная дробь равна числителю дроби 4, корню квадратному из 3, умноженному на знаменатель 4 раза на 2 конечная дробь равна числителю дроби 4, корню квадратному из 3 над знаменателем 8 конечная дробь равна квадратному корню квадратного корня из 3 над знаменателем 2 конечная дробь$

Выполним обратную замену:

$sin x равен квадратному корню из числителя дроби 3 в знаменателе 2 конечная дробь$

Получаем, что $x равно pi больше 3 плюс 2 pi n запятая n элемент прямых целых чисел$ и $x равно дроби в числителе 2 pi над знаменателем 3 конечная дробь плюс 2 pi m запятая m элемент прямых целых чисел$

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $открытые квадратные скобки минус 4 пи, точка с запятой минус 3 пи, закройте квадратные скобки.$

Отметим границы и корни на тригонометрической окружности.

Вращаемся против часовой стрелки и пройдем через точки $числитель отрицательной дроби 11 прямое число пи над знаменателем 3 конечная дробь через запятую минус числитель дроби 7 прямое число пи над знаменателем 2 конечная дробь через запятую минус числитель дроби 10 прямое число пи над знаменателем 3 конечная дробь.$

Ответ:а) $x равно pi больше 2 плюс pi k запятая k элемент прямых целых чисел$ , $x равно pi больше 3 плюс 2 pi n запятая n элемент прямых целых чисел$ , $x равно дроби в числителе 2 pi над знаменателем 3 конечная дробь плюс 2 pi m запятая m элемент прямых целых чисел$ б) $числитель отрицательной дроби 11 прямое число пи над знаменателем 3 конечная дробь через запятую минус числитель дроби 7 прямое число пи над знаменателем 2 конечная дробь через запятую минус числитель дроби 10 прямое число пи над знаменателем 3 конечная дробь.$

Нет аккаунта?

Привет, ! Как будем входить?

Введите больше 6 символов

Проблемы со входом?

Введи последние 4 цифры номера, с которого
поступит звонок. Трубку брать не нужно.

Повторный звонок через

сек.

Добро пожаловать!

Зарегистрируйся и получи Демо мастер-группы на 10 дней по любимым предметам бесплатно.

Добро пожаловать!

Как тебя зовут?

Привяжем номер телефона

Нажимая на копку, Вы выражаете своё согласие с офертой

Введите не меньше 2 символов

Привяжем номер телефона

Повторный звонок через

30 сек.

Теперь нужно подтвердить номер - введи последние 4 цифры номера, с которого поступит звонок. Трубку брать не нужно

Введите не меньше 2 символов

Придумаем пароль

Почти закончили! Теперь нужно создать надежный пароль

Введите не меньше 2 символов

Немного о тебе

В какой класс ты переходишь?

Введите не меньше 2 символов

На почту 12345@mail.ru отправлена ссылка для сброса пароля.

	МГ	Pro	ProMax
Практика на платформе
Отслеживание прогресса обучения
Двухуровневое домашнее задание после каждого вебинара
Все материалы составлены экспертом ЕГЭ
Персональный менеджер
Личный куратор
Разбор ошибок личным куратором
Еженедельные созвоны с куратором для закрытия индивидуальных пробелов
Составление индивидуального расписания

Задача по теме: "Тригонометрические уравнения"

Сообщение об ошибке

Здравствуйте!

Оплата прошла успешно!

Оплата не прошла