Задача по теме: "Тригонометрические уравнения"

Решение:

а) Для решения уравнения необходимо выполнить следующие действия:

1. Воспользуемся свойством косинуса двойного угла :

2. Раскроем скобки, умножив на содержимое скобок: 

3. Представим как :

4. Раскроем скобки, умножив и  на содержимое скобок:

5. Приведём подобные слагаемые:

6. Поделим обе части уравнения на :

7. Совершим замену (представим как ):

8. Cгpуппиpуeм cлaгaeмыe в лeвoй чacти:

9. Вынесем за скобки:

10. Получаем два уравнения:

11. Перенесём неизвестные части уравнений в левую часть, а известные - в правую, не забывая менять знак при переносе:

12. В первом уравнении поместим под корень обе части уравнения:

Тогда получится:

14. Во втором уравнении поделим обе части уравнения на :

15. Значит, уравнение имеет корни:

16. Осуществим обратную замену

17, Для решения этих уравнений, необходимо вспомнить, в каких углах синус равен ,  и . Эти углы равны ,  и  и  соответственно:

, 

, 

, где 

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку :

1. Составим неравенства:

не входит в отрезок

2. Разделим на :

3. Вычтем  и  из всех частей неравенства:

Тогда:

4. Разделим на все части неравенств:

5. Единственные целые числа в этих промежутках - это  и . Подставим их в  и  и решим: 

Отсюда:

Таким образом, ответ: 

а) 

, 

, 

, где 

б) ; ; .