Мы используем файлы cookie

Только с ними все в интернете работает так, как нужно 🍪

Политика использования cookies

Если у тебя есть AdBlock - то отключи его для нашей платформы. Рекламы у нас нет, а удалить он может лишнего 🙈

Профильная математика

Задача по теме: "Тригонометрические уравнения"

Профильная математика

Задание 13 Тригонометрические уравнения

Автор

Ященко И.В. Математика. Профильный уровень: единый государственный экзамен. — Москва: Издательство "Национальное образование", 2023. — 224 с. Материалы публикуются в учебных целях

Просмотры

а) Решите уравнение $2sin^2 x-3cos(-x)-3=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2пи;7пи/2].$

Решение:

а) Согласно свойству косинуса $cos левая скобка отрицательна x правая скобка равна cos x$ . Преобразуем уравнение:

$2 sin в квадрате x минус 3 cos x минус 3 равно 0$

Используя тригонометрическое тождество $sin в квадрате x плюс cos в квадрате x равно 1$ преобразуем

$2 левая скобка 1 минус cos в квадрате x правая скобка минус 3 cos x минус 3 равно 0$

Введем замену $t равно c o s x$ :

$2 левая скобка 1 минус t в квадрате правая скобка минус 3 t минус 3 равно 0$

Получаем квадратное уравнение. Раскроем скобки:

$2 минус 2 t в квадрате минус 3 t минус 3 равно 0$

Приведем подобные:

$минус 2 t в квадрате минус 3 t минус 1 равно 0$

Умножим на $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка двоеточие$

$2 t в квадрате плюс 3 t плюс 1 равно 0$

Решим данное квадратное уравнение через дискриминант. Формула корней уравнения $a x в квадрате плюс b x плюс c равно 0$ через дискриминант: $x равно дроби с отрицательным числителем b плюс-минус квадратный корень из D в знаменателе 2 a конечная дробь$ .

$D равно b в квадрате минус 4 a c равно 9 минус 4 умножить на 2 умножить на 1 равно 9 минус 8 равно 1$

$раскройте квадратные скобки ячейка строки таблицы t равна числителю дроби, отрицательному 3, плюс квадратный корень из 1 в знаменателе, умноженный на 2, конечная дробь, конечная ячейка строки t равна числителю дроби, отрицательному 3, минус квадратный корень из 1 в знаменателе, умноженный на 2, конечная дробь, конечная ячейка, конец таблицы закрыть$

$раскройте квадратные скобки ячейка строки таблицы t равна дроби с отрицательным значением 2 над знаменателем 4 конечная дробь конечная ячейка строка ячейки t равна дроби с отрицательным значением 4 над знаменателем 4 конечная дробь конечная ячейка конец таблицы закрыть$

$раскройте квадратные скобки строка таблицы, ячейка t равна отрицательной 1 ячейке в конце строки, ячейка t равна отрицательной 1 ячейке в конце таблицы, закройте таблицу$

Вернемся к замене:

$раскройте квадратные скобки в ячейке строки таблицы cos x равен отрицательному значению 1 в ячейке половины конца строки cos x равен отрицательному значению 1 в ячейке конца таблицы закройте$

Вспомнив таблицу тригонометрических функций:

$заключенная в открытые квадратные скобки ячейка строки таблицы x равна числителю дроби 2 прямых pi над знаменателем 3 конечная дробь плюс 2 прямых pi n через запятую n элемент Z конечная ячейка строки x равна числителю отрицательной дроби 2 прямых pi над знаменателем 3 конечная дробь плюс 2 прямых pi m через запятую m элемент прямой Z-конечная ячейка строки, ячейка x равна прямой pi плюс 2 прямых pi, k-запятая, k-пробел, k-элемент Z-конечной ячейки, конец таблицы, закрыть$

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $раскройте квадратные скобки, 2 прямых числа$

Составим неравенства:

$открытые квадратные скобки строка таблицы ячейка 2 прямое число pi меньше или равно числителю дроби 2 прямое число pi над знаменателем 3 конечная дробь плюс 2 прямых числа pi n меньше или равно числителю дроби 7 прямое число pi над знаменателем 2 конечная дробь через запятую n элемент Z конечной ячейки строки ячейки 2 прямое число pi меньше или равно числителю дроби числитель отрицательной дроби 2 прямое число pi над знаменателем 3 конечная дробь плюс 2 прямых числа pi прямая m меньше или равна числителю дроби 7 прямое число pi над знаменателем 2 конечная дробь через запятую прямая m элемент прямой Z конечная ячейка ячейки строки 2 прямое число pi меньше или равно прямой pi плюс 2 прямых числа pi k меньше или равно прямой равно числителю дроби 7 прямое число пи над знаменателем 2 конечная дробь запятая пробел k элемент из Z конечная ячейка конечная таблица закрыть$

Разделим на $прямая двоеточие$

$открытые квадратные скобки строка таблицы ячейка 2 меньше или равна 2 через 3 плюс 2 n меньше или равно 7 через 2 запятых n элемент конечной ячейки Z строка ячейки 2 меньше или равно минус 2 через 3 плюс 2 m меньше или равно 7 через 2 запятых прямая m элемент прямой Z конечная ячейка строка ячейка 2 меньше или равна 1 плюс 2 k меньше или равно 7 через 2 запятых k элемент Z конечной ячейки конец таблицы закрыть$

Рассмотрим каждое неравнство по отдельности:

$2 меньше или равно 2 через 3 плюс 2 n меньше или равно 7 через 2 запятых n элемент из Z$

Вычтем $2 на 3$ из всех частей неравенства:

$1 на 1 треть меньше или равно 2 n меньше или равно 17 через 6 запятых n элемент из Z$

Разделим на $2 двоеточие$

$4 больше 6 меньше или равно n меньше или равно 17 больше 12 через запятую n элемент из Z$

Единственное целое число в полученном промежутке $n равно 1$ , подставим его в $x равно числителю дроби 2 прямому числу pi над знаменателем 3 конечной дроби плюс 2 прямых числа pi и n$ и найдем первый корень:

$x равно числителю дроби 2, прямому pi над знаменателем 3, конечной дроби, плюс 2, прямому pi, равно числителю дроби 8, прямому pi над знаменателем 3, конечной дроби.$

Решим второе неравенство:

$2 меньше или равно отрицательному 2 больше 3 плюс 2 м меньше или равно 7 через 2 запятых прямая m элемент прямой Z$

Прибавим $2 на 3$ во всех частях неравенства:

$2 2 на 3 меньше или равно 2 м меньше или равно 25 на 6 через запятую прямая m элемент прямой Z$

Разделим на $2 двоеточие$

$4 на 3 меньше или равно m меньше или равно 25 на 12 через запятую прямая m элемент прямой Z$

Единственное целое число в полученном промежутке $m равно 2$ , подставим его в $x равно отрицательной дроби числитель 2 прямое число pi над знаменателем 3 конечная дробь плюс 2 прямых числа pi прямое число m$ и найдем второй корень:

$x равно числителю отрицательной дроби 2 прямое число пи над знаменателем 3 конечная дробь плюс 2 раза по 2 прямое число пи равно 4 прямым число пи минус числитель дроби 2 прямое число пи над знаменателем 3 конечная дробь равна числителю дроби 10 прямое число пи над знаменателем 3 конечная дробь$

Решим третье неравенство:

$2 меньше или равно 1 плюс 2 k меньше или равно 7 через 2 запятых k элемент из Z$

Отнимем $1$ из всех частей неравенства

$1 меньше или равен 2 k меньше или равен 5 через 2 запятых k элемент из Z$

Разделим все части уравнения на $2 двоеточие$

$1 половина меньше или равна k меньше или равна 5 через 4 запятых k элемент из Z$

Единственное целое число в полученном промежутке $k равно 1$ , подставим его в $x равно прямой pi плюс 2 прямых pi прямых k через запятую k элементов из Z$ и найдем третий корень:

$x равно прямому pi плюс 2 прямых pi равно 3 прямым pi$

Запишем ответ:

а) $заключенная в открытые квадратные скобки ячейка строки таблицы x равна числителю дроби 2 прямых pi над знаменателем 3 конечная дробь плюс 2 прямых pi n через запятую n элемент Z конечная ячейка строки x равна числителю отрицательной дроби 2 прямых pi над знаменателем 3 конечная дробь плюс 2 прямых pi m через запятую m элемент прямой Z-конечная ячейка строки, ячейка x равна прямой pi плюс 2 прямых pi, k-запятая, k-пробел, k-элемент Z-конечной ячейки, конец таблицы, закрыть$

б) $числитель дроби 8 прямое число пи над знаменателем 3 конечная дробь через точку с запятой 3 прямое число пи через точку с запятой числитель дроби 10 прямое число пи над знаменателем 3 конечная дробь.$

Нет аккаунта?

Привет, ! Как будем входить?

Введите больше 6 символов

Проблемы со входом?

Введи последние 4 цифры номера, с которого
поступит звонок. Трубку брать не нужно.

Повторный звонок через

сек.

Добро пожаловать!

Зарегистрируйся и получи Демо мастер-группы на 10 дней по любимым предметам бесплатно.

Добро пожаловать!

Как тебя зовут?

Привяжем номер телефона

Нажимая на копку, Вы выражаете своё согласие с офертой

Введите не меньше 2 символов

Привяжем номер телефона

Повторный звонок через

30 сек.

Теперь нужно подтвердить номер - введи последние 4 цифры номера, с которого поступит звонок. Трубку брать не нужно

Введите не меньше 2 символов

Придумаем пароль

Почти закончили! Теперь нужно создать надежный пароль

Введите не меньше 2 символов

Немного о тебе

В какой класс ты переходишь?

Введите не меньше 2 символов

На почту 12345@mail.ru отправлена ссылка для сброса пароля.

	МГ	Pro	ProMax
Практика на платформе
Отслеживание прогресса обучения
Двухуровневое домашнее задание после каждого вебинара
Все материалы составлены экспертом ЕГЭ
Персональный менеджер
Личный куратор
Разбор ошибок личным куратором
Еженедельные созвоны с куратором для закрытия индивидуальных пробелов
Составление индивидуального расписания

Задача по теме: "Тригонометрические уравнения"

Сообщение об ошибке

Здравствуйте!

Оплата прошла успешно!

Оплата не прошла